|作者：劉宇軒　白玉明　李俊林?

(清華大學(xué)物理系 低維量子物理全國重點實驗室)

本文選自《物理》2025年第10期

摘 要：隨機數(shù)是信息安全的基石。信息加密的安全性來源于隨機數(shù)的不可預(yù)測性，高隨機性的隨機數(shù)發(fā)生器是密碼學(xué)的重要需求。隨機性作為隨機數(shù)最重要的性質(zhì)一直被廣泛討論與研究。文章介紹了隨機性的基本特性、隨機數(shù)發(fā)生器的發(fā)展歷程、量子隨機數(shù)發(fā)生器的量子優(yōu)勢及近年國內(nèi)外在該領(lǐng)域的發(fā)展?fàn)顩r。

關(guān)鍵詞：量子隨機數(shù)發(fā)生器，內(nèi)稟隨機性，量子性

01引 言

信息安全是社會穩(wěn)定的必要條件，信息網(wǎng)絡(luò)空間已經(jīng)成為繼陸、海、空、天外的第五維國家安全領(lǐng)域。信息安全技術(shù)涵蓋了許多學(xué)科，其中密碼學(xué)是最重要的部分之一。傳統(tǒng)密碼技術(shù)包含了對稱密碼、公鑰密碼、數(shù)字簽名等，直至今日，它們在信息安全中依然發(fā)揮著重要作用。信息安全事件例如網(wǎng)絡(luò)攻擊、數(shù)據(jù)泄露、基礎(chǔ)設(shè)施入侵等往往會對國家安全、經(jīng)濟穩(wěn)定甚至國際關(guān)系造成嚴(yán)重影響。

圖1　經(jīng)典密碼系統(tǒng)的原理

密碼由隨機數(shù)和算法組成。如圖1所示，經(jīng)典密碼技術(shù)基于算法(例如加密函數(shù)E(m, k)與解密函數(shù)D(c, k)，其中k為密碼算法的密鑰，是加解密函數(shù)的一個參量，通常是一段特定長度的隨機數(shù))實現(xiàn)明文(簡寫為m)與密文(簡寫為c)的相互轉(zhuǎn)換，其側(cè)重點在于算法，即通過采用復(fù)雜的算法，讓破解密鑰的時間遠長于密碼保護信息的有效期。通俗來說，就是采用一道困難的數(shù)學(xué)題來保護信息，在現(xiàn)有計算機的計算能力下，需要很多年(大于50年)才能破解。與之相反的，對于隨機數(shù)的態(tài)度是夠用就行。因此當(dāng)前許多密碼系統(tǒng)大多采用基于數(shù)學(xué)算法的偽隨機數(shù)，稍好一點的是采用基于經(jīng)典物理過程的隨機數(shù)(如電噪聲、熱噪聲等)。

需要說明的是，加密算法一般是公開的，即題目是公開的。即使是不公開的加密算法也存在著被破解的可能性：1999年，DVD的密碼算法被破解；2007年，NXP公司的非接觸IC卡產(chǎn)品(MIFARE Classic)的密碼算法被破解；大名鼎鼎的RSA公司開發(fā)的RC4算法也被破解。

隨機數(shù)和算法共同構(gòu)成了密碼，因此密碼的安全性也就依賴于隨機數(shù)的安全性與算法的安全性。經(jīng)典的加密技術(shù)安全性側(cè)重于算法的安全性，但算法的安全性是有條件的，即要求攻擊者的計算能力在某一限定值下才能夠保證安全，而量子計算機的強大算力顛覆了算法安全性的條件。并且量子計算機的能力極限目前仍無定論，因此在算法無法保證安全性的情況下，必須依賴隨機數(shù)的質(zhì)量來保證安全性。簡單來說就是對整個密碼系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)保證即使算法被破譯，信息仍然是安全的。

量子計算機的出現(xiàn)使得計算能力出現(xiàn)指數(shù)級的巨大提升。2024年谷歌最新的量子計算芯片Willow在5分鐘內(nèi)完成了一項隨機電路的采樣計算，而目前頂尖超算完成該計算需要超10^25年(超過宇宙年齡)。今年國內(nèi)成功構(gòu)建的超導(dǎo)量子計算原型機“祖沖之三號”也比目前最快的超算快千萬億倍，再次打破超導(dǎo)體系量子計算優(yōu)越性世界紀(jì)錄。依賴于數(shù)學(xué)算法的密碼安全性在量子計算機強大的算力下非常脆弱，很容易被量子計算機破解。例如著名的RSA公鑰系統(tǒng)基于兩個較大質(zhì)數(shù)p、q與它們的乘積N=pq 生成密鑰，其安全性依賴于大數(shù)分解問題，即找到N的兩個因子p、q 的困難性。而早在1994年，Shor就提出了能夠有效解決大數(shù)分解問題的量子算法，證明量子計算機能夠輕易破解RSA公鑰系統(tǒng)。

一旦足夠強大的量子計算機投入使用，許多互聯(lián)網(wǎng)通信、數(shù)字簽名、密碼、合同和其他文件的數(shù)據(jù)保護機制將立即過時。此外，攻擊方可能會現(xiàn)在就下載并存儲密文數(shù)據(jù)，然后在量子計算機足夠強大時再進行解密。這種策略被稱為“現(xiàn)在收集，未來解密”，在未來可能會造成敏感信息泄露，危及國家安全。因此，密碼體系的安全性提升刻不容緩。

在量子計算機時代，加密技術(shù)的安全性將更側(cè)重于隨機數(shù)的安全性。例如量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution，QKD)，作為量子威脅的應(yīng)對方案之一，隨機數(shù)替代了算法成為安全性的主要部分。當(dāng)量子密鑰分發(fā)協(xié)議中隨機選擇的測量基能夠被攻擊者有效預(yù)測時，協(xié)議將不再具有安全性[1，2]。而隨機數(shù)的安全性來源于隨機數(shù)的隨機性，高隨機性的隨機數(shù)是密碼系統(tǒng)的基石。量子隨機數(shù)發(fā)生器即將成為密碼系統(tǒng)的重要基礎(chǔ)設(shè)施，我國工信部也正在加緊制定量子隨機數(shù)發(fā)生器行業(yè)規(guī)范。下面我們將對隨機數(shù)的隨機性、隨機數(shù)發(fā)生器的發(fā)展與量子隨機性進行介紹。

02隨機數(shù)的隨機性

隨機性是隨機數(shù)的本質(zhì)屬性。馮·米塞斯、馬丁-洛夫、柯爾莫戈洛夫等著名數(shù)學(xué)家都對隨機性的科學(xué)定義進行了長時間的研究與討論[3，4]。最終，馬丁-洛夫基于柯爾莫戈洛夫復(fù)雜性(柯氏復(fù)雜性)的理論形式化地給出了“隨機性”的定義[5，6]：一個二進制序列x是隨機的，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯爾莫戈洛夫復(fù)雜度K(x)接近其自身長度|x|，即：

K(x) ≥ |x| - c (c 為常數(shù)).

通俗來說就是指不存在比x本身短得多的程序來生成x，即它沒有簡潔的規(guī)律性描述。馬丁-洛夫在柯氏復(fù)雜性的基礎(chǔ)上將隨機性定義為能通過所有有效的統(tǒng)計測試，并證明對于無限長序列而言二者的等價性[6]，通俗而言就是通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計的方法無法找到序列存在的任何規(guī)律。二者都從不可計算性的角度給出了隨機性的描述，成為了現(xiàn)代密碼學(xué)、隨機性檢測理論的嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在這一定義下，已經(jīng)制定一些證明不可計算隨機性的標(biāo)準(zhǔn)，例如美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)的NIST SP 800-22規(guī)范[7]與中國國家密碼管理局的GM/T0005-2021隨機性檢測規(guī)范[8]。

需要注意的是，雖然以上定義的隨機性具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，但它并不是本文所說的真隨機性?？聽柲曷宸虮救艘睬宄@一點：“通常理解的隨機過程是指無法找到規(guī)律、無法預(yù)測結(jié)果的過程。在概率論的應(yīng)用中，我們需要區(qū)分隨機性(沒有任何規(guī)律性)和統(tǒng)計隨機性(概率論的主題)。概率論無法否定隨機過程中可能存在的規(guī)律性，它僅僅是從實際現(xiàn)象的統(tǒng)計隨機性假設(shè)中推導(dǎo)出一些正確的結(jié)論[9，10]”。

綜上，柯氏復(fù)雜性定義的隨機性僅證明了序列具有不可計算的特性，即這個序列看起來足夠“混亂”，但這并不意味著序列是不可預(yù)測的，因此它并不是真隨機性的定義。真隨機性的定義一直處于討論之中，但從目前的結(jié)果來看，許多數(shù)學(xué)家對從數(shù)學(xué)上給出隨機性的嚴(yán)格定義持悲觀態(tài)度。漢斯-弗賴登塔爾說道：“任何試圖以規(guī)范的方式來定義無序的嘗試都會走入矛盾。雖然無序的概念并不矛盾，但當(dāng)我試圖將其規(guī)范化時，情況就是如此”[11]。

數(shù)學(xué)嚴(yán)格定義隨機性的困難在于隨機性是產(chǎn)生隨機序列過程的特性，而不是序列本身的特性。數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)是劃定一個滿足隨機性條件的序列的標(biāo)準(zhǔn)，然而一個真隨機過程可能產(chǎn)生任何序列(所有序列都是等概率出現(xiàn)的)，而同樣的序列也能由確定性過程生成(例如計算機程序)，因此一個序列是否隨機無法通過制定一個確定的標(biāo)準(zhǔn)來定義，即序列的產(chǎn)生方法影響著這個序列是否隨機。舉一個通俗的例子，π的十進制序列能夠通過統(tǒng)計測試，滿足柯氏復(fù)雜性定義的隨機性，但顯然它并不是隨機的。正如馮·諾依曼所言：“沒有所謂的隨機數(shù)，只有產(chǎn)生隨機數(shù)的方法[12]”。

從以上的分析中可以看出，本文所討論的隨機性是隨機過程或隨機源不可預(yù)測的真隨機性，而非序列不可計算的統(tǒng)計隨機性。雖然真隨機性的嚴(yán)格定義尚未有定論，但在漫長的討論中可以總結(jié)出真隨機序列應(yīng)當(dāng)具備以下特性：

(1)無限長

隨機源能夠輸出無限長的序列，不會在有限長輸出后重復(fù)之前的輸出，輸出序列不存在周期性。在密碼學(xué)應(yīng)用中，不滿足該特性的隨機源一旦輸出序列超過最大長度后，攻擊者能對序列進行完全預(yù)測。

(2)不可計算

隨機源的輸出序列具有良好的柯氏復(fù)雜性，能夠通過所有有效的統(tǒng)計檢測，無法利用序列的前n位有效預(yù)測第n+1位的值。滿足該特性的隨機源在密碼學(xué)應(yīng)用中能保證一定條件下的安全，即在攻擊者僅能獲取其他輸出序列的條件下保證序列安全。例如使用圓周率π的十進制序列來進行加密，若攻擊者不知道序列來源，則能保證安全。但若攻擊者具有隨機源信息，例如序列來源于π，則能夠?qū)π蛄羞M行有效預(yù)測。

(3)不可預(yù)測

隨機源的輸出序列無法預(yù)測，即使攻擊者獲取了隨機源全部的狀態(tài)信息與環(huán)境信息，也無法預(yù)測隨機源的輸出。滿足該特性的隨機源在密碼學(xué)應(yīng)用中能無條件保證輸出序列的安全。

需要注意的是，以上的三個特性是遞進的關(guān)系：有限長的序列總可以被完整描述，因此必然是可計算的；可計算的序列，將計算視為預(yù)測方法的一個特例，其必然是可預(yù)測的。從無限長、不可計算到不可預(yù)測，隨機源的隨機性在不斷提升，恰好對應(yīng)了隨機數(shù)發(fā)生器的發(fā)展歷程。

03隨機數(shù)發(fā)生器發(fā)展歷程

隨機數(shù)發(fā)生器是用于產(chǎn)生隨機數(shù)的機器，對信息安全、數(shù)學(xué)與物理計算(如Monte Carlo算法)、人工智能與機器學(xué)習(xí)、金融工程與經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都具有重大意義，其發(fā)展歷程對應(yīng)著隨機性不斷提升的歷程，如圖2所示。圍繞著隨機數(shù)的無限長、不可計算和不可預(yù)測特性，從最早的基于算法的隨機數(shù)發(fā)生器發(fā)展到基于物理源的隨機數(shù)發(fā)生器(實現(xiàn)無限長與不可計算)，又發(fā)展到了量子隨機數(shù)發(fā)生器(實現(xiàn)不可預(yù)測)。

圖2　隨機數(shù)發(fā)生器發(fā)展歷程

1946年，偽隨機數(shù)發(fā)生器(pseudo-random number generator，PRNG)被提出[12]，其基本思想是將隨機數(shù)種子(一串序列)輸入算法得到一個輸出，再將該輸出作為新的種子計算下一個輸出，反復(fù)迭代輸出隨機序列。PRNG的出現(xiàn)大大提升了隨機數(shù)生成率，滿足了許多應(yīng)用的需求。但在實際應(yīng)用中，由于PRNG種子長度有限，取值空間有限，導(dǎo)致PRNG無論從什么種子開始，最終都會進入有限狀態(tài)的循環(huán)，意味著PRNG的輸出是周期性重復(fù)的有限長序列。這是PRNG種子空間有限和確定性演化的必然結(jié)果，可以將種子序列比喻成手串上的珠子，將PRNG算法比喻成兩兩連接珠子的鏈條，由于珠子的數(shù)量有限，有限次連接后必然形成環(huán)，對應(yīng)PRNG種子回到之前的狀態(tài)，開始周期性輸出。因此PRNG不具備無限長特性，那么必然也是可計算與可預(yù)測的，難以滿足密碼學(xué)對于序列安全的要求。

為了解決PRNG周期性輸出問題，人們開始利用實際的物理系統(tǒng)生成隨機數(shù)。最直接的方法是通過宏觀經(jīng)典物理系統(tǒng)生成隨機數(shù)，如系統(tǒng)噪聲或?qū)Τ跏紬l件敏感的混沌物理系統(tǒng)[13，14]。實際物理系統(tǒng)具有無窮多可能的狀態(tài)，不存在有限次演化必然回到初始狀態(tài)的問題，可輸出無限長序列。經(jīng)典物理隨機數(shù)發(fā)生器利用經(jīng)典物理系統(tǒng)的隨機信號，配合數(shù)學(xué)后處理過程，輸出的序列能夠通過大多數(shù)統(tǒng)計測試，基本滿足了隨機性不可計算的特性，一定程度上能夠滿足信息安全的基本要求。因此，為與PRNG相區(qū)分，有人稱它們?yōu)檎骐S機數(shù)發(fā)生器(true random number generator，TRNG)。但從物理學(xué)的視角來看，經(jīng)典物理系統(tǒng)是可預(yù)測的，所以TRNG產(chǎn)生的序列并不是真隨機數(shù)。經(jīng)典物理系統(tǒng)由確定的動力學(xué)方程描述，本質(zhì)上和PRNG僅存在狀態(tài)空間大小的區(qū)別，若獲取了系統(tǒng)的狀態(tài)信息，就能對系統(tǒng)進行預(yù)測。即使實際物理系統(tǒng)復(fù)雜度高，難以給出準(zhǔn)確動力學(xué)描述，系統(tǒng)狀態(tài)也隨時間連續(xù)演化，帶寬有限，信號在局域時間內(nèi)必然存在關(guān)聯(lián)，攻擊者只要獲取足夠的信息，就能對系統(tǒng)的狀態(tài)演化進行預(yù)測。與PRNG相比，經(jīng)典物理隨機數(shù)具備無限長與不可計算特性，能夠一定程度滿足信息安全的需求，但其原理上仍是確定性的，不具備不可預(yù)測性。

而量子隨機數(shù)發(fā)生器(quantum random number generator，QRNG)在原理上滿足了不可預(yù)測性。在量子力學(xué)的哥本哈根詮釋中[15]，量子態(tài)測量坍縮結(jié)果具有內(nèi)稟隨機性，即使獲得了量子態(tài)所有的信息，也無法預(yù)測坍縮結(jié)果；坍縮時間是瞬時的，等效帶寬無窮大，前后坍縮結(jié)果不存在任何關(guān)聯(lián)性。因此QRNG自2000年開始逐漸受到廣泛關(guān)注[16]。與經(jīng)典隨機數(shù)發(fā)生器相比，QRNG在具備無限長、不可計算特性的基礎(chǔ)上，根據(jù)量子力學(xué)的波函數(shù)測量坍縮假設(shè)，原理上保證了輸出序列的不可預(yù)測性，這就是QRNG相比于經(jīng)典隨機數(shù)發(fā)生器的量子性優(yōu)勢。下一節(jié)會詳細分析經(jīng)典系統(tǒng)和量子系統(tǒng)在隨機性上的區(qū)別。

04兩種隨機性：表觀隨機性與內(nèi)稟隨機性

經(jīng)典系統(tǒng)與量子系統(tǒng)均能夠?qū)崿F(xiàn)隨機序列輸出，但兩者在可預(yù)測性上存在著本質(zhì)區(qū)別，由此引出了兩類隨機性的概念：表觀隨機性與內(nèi)稟隨機性。

表觀隨機性是對于系統(tǒng)狀態(tài)與演化缺乏足夠的信息而展現(xiàn)的隨機性。若得到系統(tǒng)狀態(tài)與演化的信息，則系統(tǒng)演化是可預(yù)測的。經(jīng)典系統(tǒng)的隨機性為表觀隨機性，例如大氣系統(tǒng)、電磁噪聲等。表觀隨機性對經(jīng)典力學(xué)研究有重要意義，與統(tǒng)計力學(xué)的基本假設(shè)具有深刻聯(lián)系[17]，很多復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部遵循確定性的演化規(guī)律，但基于概率論的假設(shè)引入隨機數(shù)進行分析也能得到有意義的結(jié)論。即使經(jīng)典系統(tǒng)的某些特性和概率論中隨機過程的特性吻合，也不意味著系統(tǒng)的隨機性是真實的，正如馮·諾依曼所言[12]：“一些用隨機方法解決的問題可能存在使用更嚴(yán)格序列解決的可能”。理論上，所有經(jīng)典物理系統(tǒng)展現(xiàn)的隨機特性均屬于表觀隨機性，信息客觀存在，系統(tǒng)并非不可預(yù)測。如圖3所示，著名的比喻拉普拉斯妖指出了經(jīng)典物理系統(tǒng)表觀隨機性可預(yù)測的本質(zhì)[18]：“有一個智者，在給定的時刻，了解了自然界中的所有物質(zhì)的能量與動量，它足夠強大，可以對這些數(shù)據(jù)進行分析，它能以同樣的公式描繪宇宙中最大物體和最輕原子的運動。那么對它來說，沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，在它的眼中同時存在”。在表觀隨機性的世界(經(jīng)典物理世界)，所有事件只有一種發(fā)展方式，一切看似隨機的過程都是可預(yù)測的。在密碼學(xué)應(yīng)用的角度，利用表觀隨機性進行加密的本質(zhì)就是利用一段信息去保護另一段信息，風(fēng)險始終存在，如果攻擊者能夠更好地預(yù)測隨機源，安全性就會被破壞。

圖3　拉普拉斯妖對宇宙中一切物質(zhì)的演化進行預(yù)測

內(nèi)稟隨機性指隨機性是作為系統(tǒng)內(nèi)稟屬性而存在的，即使了解系統(tǒng)所有的狀態(tài)信息，也無法預(yù)測系統(tǒng)的輸出。只有利用具有內(nèi)稟隨機性的隨機源才可能實現(xiàn)無條件安全的信息加密。量子力學(xué)理論中的疊加態(tài)測量隨機坍縮正是內(nèi)稟隨機的，它的隨機性是系統(tǒng)的內(nèi)在屬性，即使完全了解系統(tǒng)狀態(tài)，也無法預(yù)測疊加態(tài)的坍縮結(jié)果。

從系統(tǒng)演化的角度看，在經(jīng)典力學(xué)中，只要確定系統(tǒng)某一時刻的坐標(biāo)與動量，系統(tǒng)狀態(tài)就被完全確定，之后系統(tǒng)的一切都是完全確定的，不存在隨機性，只要提高我們的測量精度與計算設(shè)備，就能夠以想要的精度對系統(tǒng)演化進行預(yù)測。而在量子力學(xué)的觀點中，量子態(tài)存在著內(nèi)稟隨機性，僅能利用概率波函數(shù)對系統(tǒng)的演化進行描述，量子力學(xué)本質(zhì)上是概率的。

圖4　經(jīng)典系統(tǒng)和量子系統(tǒng)的狀態(tài)與測量結(jié)果的關(guān)系

從測量的角度看，經(jīng)典系統(tǒng)的測量結(jié)果就是系統(tǒng)所處的狀態(tài)，測量不影響經(jīng)典系統(tǒng)的狀態(tài)，測量結(jié)果也隨狀態(tài)而客觀存在，即經(jīng)典系統(tǒng)力學(xué)量滿足實在論，僅存在表觀隨機性。而量子系統(tǒng)的測量結(jié)果伴隨著量子態(tài)坍縮，在測量之前該結(jié)果并不實際存在。如圖4所示，經(jīng)典系統(tǒng)的測量結(jié)果=狀態(tài)，量子系統(tǒng)的測量結(jié)果≠狀態(tài)。量子系統(tǒng)的結(jié)果僅能通過測量坍縮獲取，并且在測量后系統(tǒng)坍縮至力學(xué)量本征態(tài)，系統(tǒng)失去了測量前的狀態(tài)信息，因此量子系統(tǒng)力學(xué)量不滿足實在論，具有內(nèi)稟隨機性。定域?qū)嵲谡摰挠懻撘彩橇孔恿W(xué)基本問題研究的重要部分，持續(xù)了近一個世紀(jì)，最終通過貝爾不等式的提出與實驗驗證證明了量子力學(xué)不滿足定域?qū)嵲谡揫19—23]，2022年諾貝爾物理學(xué)獎也頒給了在貝爾不等式驗證實驗中做出貢獻的三位學(xué)者：阿斯佩(A. Aspect)、克勞澤(J. F. Clauser)與塞林格(A. Zeilinger)。

圖5　扔硬幣的經(jīng)典隨機過程

以扔硬幣為例，這是一個經(jīng)典隨機的典型例子，如圖5所示。數(shù)學(xué)中通常認為硬幣的正反面是完全隨機的，但實際過程中如果有一個高速相機，對扔出的硬幣不停地拍照(觀測)，獲取硬幣足夠多的運動信息后是可以預(yù)知最終結(jié)果的，或者在硬幣接近停止時也可以知道結(jié)果。

若考慮該問題的量子版本，“量子硬幣”從扔出到靜止的演化時間是0，中間無法插入任何過程獲取信息(例如拍攝)，該隨機性由疊加態(tài)的內(nèi)稟隨機性保證。

從以上例子可以看出，表觀隨機性在具有更多信息的攻擊者角度可預(yù)測，不具備安全性，而內(nèi)稟隨機性保證了無論攻擊者獲取了多少信息，序列均具有不可預(yù)測性。因此只有QRNG能夠保證加密系統(tǒng)的安全性，這也是QRNG相比于經(jīng)典隨機數(shù)發(fā)生器的量子優(yōu)勢。內(nèi)稟隨機性同時保證了隨機序列的不可重現(xiàn)性，即使兩個完全相同的QRNG在完全相同的條件下工作，其輸出結(jié)果也是不一樣的，二者輸出不存在任何的關(guān)聯(lián)性和邏輯性，各自具有獨立的隨機性，即QRNG產(chǎn)生的隨機數(shù)具有唯一性。而在經(jīng)典物理中，在完全相同的條件下拋出兩個相同的硬幣，兩個硬幣的結(jié)果一定是相同的。不可重現(xiàn)性也是QRNG相比于經(jīng)典隨機數(shù)發(fā)生器的顯著特征。

為何微觀粒子具有內(nèi)稟隨機性而大量微觀粒子組成的經(jīng)典系統(tǒng)是確定性的？2024年數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎——阿貝爾獎的獲得者米歇爾·塔拉格朗(Michel Talagrand)的結(jié)論解釋了這一問題[24]：“一個隨機變量如果依賴于(以一種“平滑”的方式)許多獨立的隨機變量(權(quán)重不集中在某一個變量上)，那么這個隨機變量本質(zhì)上是一個常量”。即如果一個過程依賴于許多相互獨立的隨機過程，不同的隨機因素不會提高該過程的隨機性，反而更加傾向于相互抵消，使得該過程趨向于確定性的過程。經(jīng)典理論描繪的宏觀物體，大量微觀粒子的隨機性相互抵消，導(dǎo)致宏觀物體展現(xiàn)出確定性的運動規(guī)律?？梢詫⒑暧^物體的物理量理解為大量粒子物理量的平均值，量子力學(xué)中的埃倫費斯特定理也驗證了經(jīng)典物理與量子物理的聯(lián)系[25]。在經(jīng)典極限下，量子期望值的運動方程為

與經(jīng)典正則方程相對應(yīng)?？梢岳斫鉃榻?jīng)典物理是量子物理的“平均效應(yīng)”，即經(jīng)典理論包含在了量子理論之中。

在實際應(yīng)用中，選擇量子系統(tǒng)的根本原因是量子系統(tǒng)能夠帶來超越經(jīng)典物理框架的優(yōu)勢，因此量子系統(tǒng)的量子性(見Box1)是應(yīng)用中的一個重要指標(biāo)。

量子性

當(dāng)我們稱一個系統(tǒng)具有量子性時，并不是因為這個系統(tǒng)使用了量子理論進行描述，而是因為這個系統(tǒng)展現(xiàn)出了無法使用經(jīng)典理論所解釋的特性。以光為例，盡管光的雙縫干涉可以用量子理論中的概率波函數(shù)干涉進行解釋，但也能夠使用經(jīng)典的電磁波理論進行描述，因此光的雙縫干涉并沒有明顯的量子性；而糾纏光子的貝爾不等式違背現(xiàn)象與經(jīng)典理論的定域?qū)嵲谡摯嬖诒举|(zhì)矛盾，經(jīng)典理論無法解釋，即超出了經(jīng)典理論框架之外，因此光子糾纏就具有顯著的量子性。以電子為例，當(dāng)電子在電場中自由運動時，既可以使用薛定諤方程對波函數(shù)波包的運動進行描述，也可以使用經(jīng)典運動方程對電子運動進行描述，因此自由運動的電子不存在顯著的量子性；而當(dāng)電子被束縛在勢阱中時，能夠以隧穿方式穿過高于自身能量的勢壘從勢阱中逃逸，這樣的現(xiàn)象無法使用經(jīng)典理論進行描述，因此電子隧穿具有顯著的量子性。同樣地，在QRNG領(lǐng)域，并不是QRNG系統(tǒng)能夠使用量子理論進行描述，系統(tǒng)就具有了顯著的量子性。在QRNG中，只有波函數(shù)坍縮的內(nèi)稟隨機性是經(jīng)典理論無法描述的，由此可以定義出量子隨機性與QRNG系統(tǒng)的量子性等概念，下面將對量子隨機性與量子性進行詳細地分析。

05量子隨機性、量子性的定義與特性

基于對量子系統(tǒng)隨機性的分析，可以將基于量子疊加態(tài)坍縮的內(nèi)稟隨機性定義為量子隨機性。

5.1　量子隨機性定義

量子隨機性是量子疊加態(tài)波函數(shù)測量坍縮結(jié)果的隨機性。量子隨機性來源于量子疊加態(tài)的波函數(shù)坍縮，與任何經(jīng)典理論不存在關(guān)聯(lián)，也不存在于任何經(jīng)典理論框架中。需要注意的是，雖然量子隨機性是量子理論中獨有的特性，但并不代表某個QRNG的隨機源能夠被量子理論所描述，這個QRNG就具有良好的量子隨機性，也并不是只要系統(tǒng)處于量子純態(tài)，測量結(jié)果就能夠展現(xiàn)量子隨機性。其一，在理論框架上，量子隨機性僅屬于量子力學(xué)理論的一部分，即量子測量坍縮假設(shè)的部分。而量子理論中的其余部分不產(chǎn)生內(nèi)稟隨機性，例如量子系統(tǒng)的幺正演化雖然遵循薛定諤方程，但其仍是確定性的方程，在期望值上和經(jīng)典理論相互對應(yīng)，僅存在表觀隨機性。其二，在實際測量中，量子隨機性僅來源于純態(tài)波函數(shù)單次坍縮的力學(xué)量結(jié)果，而經(jīng)典探測器的響應(yīng)往往對應(yīng)了大量獨立純態(tài)波函數(shù)坍縮結(jié)果的平均值，導(dǎo)致測量趨向于經(jīng)典測量，信號趨同于經(jīng)典信號，量子隨機性趨于零。在QRNG應(yīng)用中，即使隨機源是一個純態(tài)量子源，若測量結(jié)果是大量純態(tài)測量坍縮結(jié)果的平均值，其信號的量子隨機性也會趨于零。

以光為例，單光子級的光場測量結(jié)果能夠展現(xiàn)出顯著的量子漲落。而隨著光強增強，探測器響應(yīng)的獨立光子數(shù)不斷增加，測量結(jié)果不再是單個光子態(tài)坍縮的結(jié)果，而變?yōu)榇罅抗庾討B(tài)坍縮結(jié)果的平均值，其值與經(jīng)典電磁波理論所描述的一致，即量子特性消失，不表現(xiàn)出量子隨機性。因此探測過程作為測量坍縮的一部分也對QRNG量子隨機性存在顯著的影響，在QRNG設(shè)計中需要被仔細考慮。例如若單光子路徑選擇型QRNG中將單光子探測器換成簡單的光強探測器，單光子源換成脈沖光源，那么探測器的信號是大量光子態(tài)坍縮的平均光子數(shù)，該QRNG的隨機性為表觀隨機性。

與經(jīng)典隨機信號相比，量子隨機性的最大特性是獨立同分布(independent and identically distributed，IID)特性。

5.2　獨立性

獨立性是量子疊加態(tài)坍縮的本質(zhì)屬性。疊加態(tài)的波函數(shù)坍縮是瞬時過程，信號上表現(xiàn)為階躍過程，坍縮結(jié)果與系統(tǒng)的歷史狀態(tài)無關(guān)，天然具有獨立性，例如對于電子自旋疊加態(tài)|ψ>=|↑>+|↓>，即使兩次測量坍縮的量子態(tài)完全相同，測量條件也完全相同，兩次坍縮的結(jié)果也是獨立的，各自獨立等概率地出現(xiàn)↑或↓的測量結(jié)果。而與波函數(shù)坍縮過程相反，經(jīng)典系統(tǒng)局域時間信號必然存在相關(guān)性。其一，從源的角度看，經(jīng)典物理系統(tǒng)按確定性的正則方程演化，帶寬有限，相關(guān)性不可避免，例如電路中的經(jīng)典電磁噪聲，由于電路中不可避免的分布電容、分布電感效應(yīng)，電信號不存在信號的階躍突變，局域時間內(nèi)的信號必然存在顯著關(guān)聯(lián)，根據(jù)奈奎斯特采樣定理[26]，只要采樣信號大于系統(tǒng)信號帶寬的兩倍，就能夠恢復(fù)原有信號。其二，從探測器的角度看，經(jīng)典信號對應(yīng)于探測器響應(yīng)時間范圍內(nèi)大量粒子物理量的平均值，探測器輸出信號響應(yīng)時間范圍內(nèi)的相關(guān)性也不可避免。以光功率計為例，其帶寬有限，測量結(jié)果是一段時間內(nèi)光功率的平均值，輸出的光功率結(jié)果不存在突變，即局域時間內(nèi)的信號必然存在關(guān)聯(lián)。綜上，獨立性是量子隨機性與經(jīng)典隨機性的本質(zhì)區(qū)別。

5.3　同分布性

同分布性是量子疊加態(tài)等概率坍縮的必然要求，是量子隨機性的必要條件。其一，在理論框架上，量子隨機性是疊加態(tài)波函數(shù)坍縮產(chǎn)生的隨機性，與量子態(tài)的幺正演化無關(guān)。量子態(tài)的幺正演化遵循薛定諤方程，在期望值上與經(jīng)典理論相互對應(yīng)，只存在表觀隨機性。只有每次坍縮前的系統(tǒng)被復(fù)位至相同的量子疊加態(tài)，才能保證該量子系統(tǒng)的坍縮結(jié)果具有相同的內(nèi)稟概率分布，即理想的量子隨機性。即使采用量子系統(tǒng)作為隨機源，如果每次坍縮后量子系統(tǒng)沒有被正確復(fù)位，那么該系統(tǒng)幺正演化的表觀隨機性將會作為噪聲進入測量結(jié)果中，導(dǎo)致信號的量子隨機性下降。例如，假設(shè)一個量子源的量子態(tài)存在幺正演化，以拉比振蕩的形式為例 |ψ>=cos(Ωt/2)|0>-i sin(Ωt/2)|1>，每次測量坍縮結(jié)果的概率分布為P0(t )=cos2(Ωt/2)，P1(t)=sin2(Ωt/2)，這類演化(正弦函數(shù))顯然是確定性的演化，但若QRNG系統(tǒng)對此不加區(qū)分，將其也作為隨機輸出的一部分，那么這些幺正演化的部分就作為表觀隨機性(噪聲)混入了最終輸出，雖然統(tǒng)計結(jié)果上依然能滿足，但其中表觀隨機的部分將與拉比頻率Ω等外界條件(例如外部磁場)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致量子隨機性降低。其二，在實際測量中，測量系統(tǒng)的不變性也要求了每次測量前應(yīng)當(dāng)保證量子系統(tǒng)被正確復(fù)位?？偠灾?，量子隨機性來源于波函數(shù)的瞬時坍縮，不存在任何演化過程，而經(jīng)典表觀隨機性恰是來源于信息不足的隨機演化，這也是量子隨機性和經(jīng)典隨機性的本質(zhì)區(qū)別。非同分布就意味著系統(tǒng)狀態(tài)存在演化，存在演化就代表系統(tǒng)存在表觀隨機性，因此同分布性是量子隨機性的必要條件之一。

從量子隨機性的定義與特性可以看到，并非只要使用了量子系統(tǒng)作為隨機源，就能保證QRNG具有良好的量子隨機性。實際QRNG系統(tǒng)必然包含了控制、采樣等經(jīng)典部分，輸出的隨機信號不可避免地包含量子隨機性與非隨機、表觀隨機性的成分，其中僅有純態(tài)坍縮的量子隨機性是內(nèi)稟隨機的。可將除去量子隨機性的部分定義為QRNG系統(tǒng)的噪聲，將QRNG系統(tǒng)的量子性定義為量子隨機性所占比例：

噪聲廣泛存在于整個系統(tǒng)，包括量子隨機源與測量、采樣系統(tǒng)等，產(chǎn)生的原因也不盡相同。對于量子隨機源，系統(tǒng)量子態(tài)由于環(huán)境擾動、狀態(tài)制備不完美等因素發(fā)生的演化就是一種噪聲。這類演化理論上是確定性的，具有有限帶寬，能夠通過反饋、補償?shù)确绞竭M行抑制，而量子態(tài)坍縮信號作為量子系統(tǒng)本質(zhì)屬性并不會受這些操作的影響。對于測量與采樣系統(tǒng)，測量設(shè)備誤差與不穩(wěn)定是一種噪聲。由于實際測量系統(tǒng)為經(jīng)典系統(tǒng)，帶寬有限，與波函數(shù)瞬時坍縮無限大的等效帶寬存在矛盾，即使隨機源是理想的量子系統(tǒng)，根據(jù)塔拉格朗的結(jié)論，如果每次采樣對應(yīng)了多個粒子的坍縮，這些粒子的隨機性傾向于相互抵消，導(dǎo)致信號的隨機性下降，這也是系統(tǒng)的噪聲。此外如果采樣系統(tǒng)帶寬大于信號帶寬，根據(jù)奈奎斯特采樣定律，采樣結(jié)果本身將具有相關(guān)性，導(dǎo)致量子性損失，這也是一種噪聲。

對于QRNG系統(tǒng)而言，僅有量子隨機性的部分是我們所需的信號，其余的部分均為噪聲。但由于噪聲也具備一定“無序”(統(tǒng)計上無序但非內(nèi)稟隨機)的特點，部分QRNG工作中忽視了對于量子隨機性與噪聲的分析，簡單地將噪聲也視為系統(tǒng)隨機性的一部分，導(dǎo)致隨機信號中量子隨機性的比例較低，系統(tǒng)量子性不顯著。這樣的QRNG系統(tǒng)和經(jīng)典隨機系統(tǒng)相比不存在量子優(yōu)勢，也就失去了其在安全性上本應(yīng)具備的重要意義。因此QRNG的量子性在設(shè)計與檢測中是一個被忽視但卻十分重要的問題。

06量子時代密碼系統(tǒng)發(fā)展現(xiàn)狀

量子計算技術(shù)正在迅速發(fā)展，并且發(fā)展速度大大超過了許多人的預(yù)期，量子計算對現(xiàn)有密碼體系的威脅進度遠比想象中要快，這也成為了傳統(tǒng)密碼體系頭頂?shù)倪_摩克里斯之劍。為了對抗量子計算對現(xiàn)有密碼體系的破壞，2024年8月13日，美國NIST正式發(fā)布首批后量子加密(post-quantum cryptography，PQC)標(biāo)準(zhǔn)，旨在利用更復(fù)雜的算法以抵御量子計算機的威脅。但由于目前對于量子計算算法的研究尚不充分，PQC算法只能抵御已知的量子密碼破解算法，量子計算機的能力上限也尚不明確，因此對于PQC算法能否完全抵御量子計算攻擊仍存在爭議。利用PQC來應(yīng)對量子計算機的方式只是一種過渡方案，密碼體系正向著超越計算復(fù)雜性、依賴量子物理原理與隨機數(shù)的不可預(yù)測性來保證安全的方向發(fā)展。未來隨機數(shù)將完全成為密碼體系安全性的保障，QRNG也將成為密碼體系的核心。

目前已經(jīng)有很多QRNG技術(shù)方案被提出，并且很多方案都已實現(xiàn)可實用化與芯片化，主要可以分為兩類：一類是基于光子體系的QRNG，包括光子路徑選擇、光子到達時間、光子相位漲落與光的真空漲落等技術(shù)方案[16，27—33]；另一類是基于電子體系的QRNG，包括雪崩二極管、隧道二極管與范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)等技術(shù)方案[34—36]。

6.1　基于光子體系的量子隨機數(shù)發(fā)生器

量子光學(xué)的實驗技術(shù)比較成熟，包括高性能量子光源、單光子探測技術(shù)、光纖技術(shù)以及各種靈活的光學(xué)元件等。目前實驗室對于光子的操控普遍具有較高水平，因此光子系統(tǒng)在性能與工程實現(xiàn)難度上達到了良好的平衡，成為當(dāng)前QRNG的主流實現(xiàn)方案。但由于光子測量過程涉及到了光電轉(zhuǎn)換等諸多經(jīng)典物理過程，降低了熵源輸出的原始數(shù)據(jù)的隨機性，因此光子體系的QRNG依賴對原始數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)后處理。不過后處理是確定性的數(shù)學(xué)過程(如Toeplitz hash算法)，不會增加原始數(shù)據(jù)的隨機性。對光子體系QRNG而言，如何提升熵源原始數(shù)據(jù)的隨機性仍然是一大挑戰(zhàn)?；谙辔粷q落與真空漲落的方案是目前光子體系QRNG中實用化較高的方案，以下進行簡單的介紹。

圖6　基于相位漲落QRNG的原理圖[27]

基于相位漲落的QRNG利用激光器內(nèi)自發(fā)輻射效應(yīng)導(dǎo)致的光場相位隨機量子漲落，通過干涉儀將相位漲落轉(zhuǎn)換為強度漲落來輸出隨機數(shù)，如圖6所示。2012年，清華大學(xué)研究組利用激光相位漲落實現(xiàn)了隨機數(shù)生成，驗證了量子相位漲落作為隨機源的可行性[27]。2015年，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究組將相位漲落QRNG速率提高至68 Gbps[28]。目前，基于相位漲落的QRNG已實現(xiàn)了集成化與實用化(實時后處理輸出)[29，30]，是主流QRNG方案之一。

圖7　基于真空漲落QRNG的原理圖[31]

基于真空漲落的QRNG利用不確定性原理導(dǎo)致的光場真空態(tài)漲落，通過平衡零差檢測等技術(shù)將真空漲落轉(zhuǎn)化為電信號輸出隨機數(shù)，如圖7所示。2010年，德國馬克斯普朗克研究所利用真空態(tài)正交振幅的不確定性實現(xiàn)了6.5 Mbps的隨機數(shù)輸出[31]。同年，國防科技大學(xué)研究組將真空漲落的QRNG輸出速率提升至12 Mbps[32]。目前該方案的QRNG也實現(xiàn)了集成化與實用化[37]。

6.2　基于電子體系的量子隨機數(shù)發(fā)生器

電子體系的QRNG通常基于固體內(nèi)的電子隧穿效應(yīng)來輸出隨機數(shù)。當(dāng)固體中的勢壘寬度較窄時，處于勢阱中的電子有概率越過能量高于自身的勢壘，形成隧穿電流。隧穿效應(yīng)是典型的量子效應(yīng)，具備內(nèi)稟隨機性。與光子體系相比，電子體系QRNG不存在電—光—電轉(zhuǎn)換過程，能夠避免轉(zhuǎn)換過程中的經(jīng)典噪聲，未經(jīng)后處理的原始序列質(zhì)量普遍更高，在隨機性與安全性上更具優(yōu)勢。

2017年，英國蘭卡斯特大學(xué)研究組利用隧道二極管內(nèi)的電子隧穿效應(yīng)實現(xiàn)了隨機數(shù)輸出[34]。2022年，基于范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)的QRNG被提出，在不存在任何數(shù)學(xué)處理的條件下，NISTSP800-90B認證最小熵達到了0.983 bits/bit，是當(dāng)時QRNG的最高記錄[35]。2023年，清華大學(xué)研究組利用雪崩二極管內(nèi)的電子隧穿效應(yīng)實現(xiàn)了100 Mbps的隨機數(shù)輸出，在無任何后處理的條件下，NIST SP 800-90B認證最小熵達到了0.9872 bits/bit，首次實現(xiàn)了實用化的電子體系QRNG。

07總 結(jié)

隨機數(shù)是信息安全的基石。隨著人們對于隨機性的理解加深，量子力學(xué)中的內(nèi)稟隨機性對于信息安全的重要性越來越顯著，QRNG領(lǐng)域也正處于百花齊放的時代。作為信息安全系統(tǒng)中最重要的基礎(chǔ)設(shè)施，QRNG正向著高隨機性、高穩(wěn)定性、高輸出率、高集成性的方向發(fā)展，將在未來的信息網(wǎng)絡(luò)安全中發(fā)揮不可替代的作用，我們期待著這一天的到來。

致 謝 感謝清華大學(xué)物理系朱邦芬教授在本論文立意、框架等方面給予的具體指導(dǎo)。感謝邵舜先生和首都師范大學(xué)物理系楊哲老師在論文立意方面的啟發(fā)與支持。

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來源：轉(zhuǎn)載自“中國物理學(xué)會期刊網(wǎng)”公眾號