導(dǎo)讀：

以后如果你看到量子計(jì)算機(jī)的新聞，千萬(wàn)不要問(wèn)“計(jì)算能力跟我的電腦比起來(lái)怎么樣”或者“打游戲會(huì)卡嗎”，人家一聽(tīng)就知道你很外行。如果你問(wèn)“它針對(duì)的是哪個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把計(jì)算量從什么改進(jìn)到了什么”，人家就知道你是懂行的了?！话闳宋也桓嬖V他！

前文參見(jiàn)： 

你完全可以理解量子信息（1） | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息（2-3） | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息（4-5） | 袁嵐峰）

你完全可以理解量子信息（6） | 袁嵐峰）

你完全可以理解量子信息（7） | 袁嵐峰

八、量子信息的優(yōu)勢(shì)

從以上內(nèi)容可以看出，量子信息跟經(jīng)典信息相比有很大的優(yōu)勢(shì)。

首先是一個(gè)顯而易見(jiàn)的優(yōu)勢(shì)。前面比喻過(guò)：經(jīng)典比特是“開(kāi)關(guān)”，只有開(kāi)和關(guān)兩個(gè)狀態(tài)，而量子比特是“旋鈕”，有無(wú)窮多個(gè)狀態(tài)。旋鈕的信息量顯然比開(kāi)關(guān)大得多。

還有一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)。一個(gè)包含n個(gè)經(jīng)典比特的體系，總共有2^n個(gè)狀態(tài)。想知道一個(gè)函數(shù)在這個(gè)n比特體系上的效果，需要對(duì)這2^n個(gè)狀態(tài)都計(jì)算一遍，總共要2^n次操作。當(dāng)n很大的時(shí)候，2^n是一個(gè)巨大的數(shù)字。指數(shù)增長(zhǎng)是一種極快的增長(zhǎng)，比n的任何多項(xiàng)式都快。比如說(shuō)，2^n比n的10000次方增長(zhǎng)得還要快。

對(duì)n個(gè)量子比特的體系，卻有一個(gè)巧妙的辦法。使每個(gè)量子比特都處于自己的|+> =(|0> + |1>)/√2態(tài)，那么整個(gè)體系的狀態(tài)就是|++…+> = (|00…0>+ |00…1> + … + |11…1>) /2^(n/2)。（根據(jù)定義就可以知道，這是個(gè)直積態(tài)，不是糾纏態(tài)，雖然它確實(shí)是一個(gè)疊加態(tài)。糾纏態(tài)和疊加態(tài)是兩個(gè)概念。）仔細(xì)看看你會(huì)發(fā)現(xiàn)，0和1的所有長(zhǎng)度為n的組合都出現(xiàn)在其中，總共有2^n項(xiàng)，剛好對(duì)應(yīng)n個(gè)經(jīng)典比特的2^n個(gè)狀態(tài)。對(duì)這個(gè)疊加態(tài)做一次操作，得到的就是所有2^n個(gè)結(jié)果的疊加態(tài)。量子比特的一次操作，就達(dá)到了經(jīng)典比特2n次操作的效果！

但在歡呼之前，我們需要認(rèn)清，這個(gè)巨大的優(yōu)勢(shì)并不容易利用。因?yàn)樗?n個(gè)結(jié)果是疊加在一起的，讀取出來(lái)需要做測(cè)量，而一做測(cè)量就只剩下一個(gè)結(jié)果，其余的結(jié)果都被破壞了。所以我們只能把這個(gè)優(yōu)勢(shì)稱(chēng)為潛在的巨大優(yōu)勢(shì)，真要利用它，需要非常巧妙的算法。

這樣的算法只對(duì)少數(shù)的問(wèn)題能夠設(shè)計(jì)出來(lái)，后面會(huì)舉一些例子，如“因數(shù)分解”。有些科普文章把量子計(jì)算機(jī)描寫(xiě)成無(wú)所不能，快成神了，這是重大的誤解。量子計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大，是與問(wèn)題相關(guān)的，只針對(duì)特定的問(wèn)題。

九、量子信息的應(yīng)用

前面說(shuō)過(guò)，量子信息的研究?jī)?nèi)容包括量子通信和量子計(jì)算。從這兩個(gè)名字我們立刻就可以發(fā)現(xiàn)，量子信息還沒(méi)有進(jìn)入生活，因?yàn)榇蠹叶歼€在用經(jīng)典的電腦和手機(jī)呢。具體地說(shuō)，量子通信已經(jīng)有了一些實(shí)際應(yīng)用，量子衛(wèi)星就是做相關(guān)實(shí)驗(yàn)的。而量子計(jì)算的發(fā)展程度要低得多，還處于演示階段，尚未造出有實(shí)用價(jià)值的量子計(jì)算機(jī)。

量子信息究竟能用來(lái)干什么呢？下面我們來(lái)介紹量子信息的四項(xiàng)應(yīng)用。在量子計(jì)算方面，有量子因數(shù)分解（破解最常用的密碼體系）和量子搜索（用途最廣泛的量子算法）。在量子通信方面，有量子隱形傳態(tài)（“傳送術(shù)”，最富有科幻色彩的應(yīng)用）和量子密碼術(shù)。在所有這些應(yīng)用中，量子密碼術(shù)是目前唯一接近實(shí)用的，但這一個(gè)就非常重要，足以表現(xiàn)量子信息的價(jià)值了。

十、量子因數(shù)分解和密碼破解

所謂因數(shù)分解，就是把一個(gè)合數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的乘積，例如21 = 3 × 7。因數(shù)分解是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典難題。

你也許會(huì)問(wèn)，這有什么難的？你當(dāng)然不管三七二十一就能分解21，但請(qǐng)?jiān)囋嚳捶纸?^67 - 1 =147,573,952,589,676,412,927。這是個(gè)18位數(shù)。1644年（明朝滅亡的那一年），法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森（Marin Mersenne）提出它是一個(gè)質(zhì)數(shù)。在那之后的很長(zhǎng)時(shí)間里，人們都這么認(rèn)為。直到1903年（清朝都快亡了），人們才發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)合數(shù)，等于193,707,721 ×761,838,257,287。耗了一個(gè)朝代！

讓我們想想，如何分解一個(gè)數(shù)字N。最容易想到的算法，是從2開(kāi)始往上，一個(gè)一個(gè)地試驗(yàn)?zāi)芊裾齆，一直到N的平方根為止。如果N用二進(jìn)制表示是個(gè)n位數(shù)，即N約等于2n，那么嘗試的次數(shù)大致就是2n/2。這是指數(shù)增長(zhǎng)的計(jì)算量，前面說(shuō)過(guò)，指數(shù)增長(zhǎng)是一個(gè)災(zāi)難。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，把計(jì)算量指數(shù)增長(zhǎng)的問(wèn)題稱(chēng)為“不可計(jì)算的”，把計(jì)算量多項(xiàng)式增長(zhǎng)的問(wèn)題稱(chēng)為“可計(jì)算的”。不可計(jì)算的意思并不是計(jì)算機(jī)不能算，而是計(jì)算量增長(zhǎng)得太快，很容易就達(dá)到“把全世界的計(jì)算機(jī)集中起來(lái)算幾十億年都無(wú)法得出結(jié)果”的程度。

當(dāng)然，計(jì)算量是跟算法有關(guān)的，你可以尋找效率更高的算法，也應(yīng)該這么做。對(duì)于因數(shù)分解，“從2開(kāi)始一個(gè)一個(gè)試”并不是最聰明的算法。在經(jīng)典計(jì)算機(jī)的框架中，目前最好的算法叫做“數(shù)域篩”，計(jì)算量有所減少，但仍然是指數(shù)增長(zhǎng)。

“艾數(shù)學(xué)”同學(xué)，你想問(wèn)數(shù)域篩的計(jì)算量具體是多少？一般人我不告訴他，答案是exp[O(n^(1/3) log^(2/3)n)]（在數(shù)學(xué)中，大寫(xiě)字母O后面跟一個(gè)式子，表示結(jié)果跟這個(gè)式子具有同樣的數(shù)量級(jí)）。

這樣的計(jì)算量是什么概念？如果計(jì)算機(jī)一秒做1012次運(yùn)算，那么分解一個(gè)300位的數(shù)字需要15萬(wàn)年，分解一個(gè)5000位的數(shù)字需要……50億年！地球的年齡也不過(guò)是46億年而已！

由此可以看出因數(shù)分解的一個(gè)特點(diǎn)：它的逆操作，即算出兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，是非常容易的；而它本身，卻是非常困難的。這種“易守難攻”的特性，使它在密碼學(xué)中得到了重要的應(yīng)用。

密碼學(xué)的基本框架，我們會(huì)在后面介紹量子密碼術(shù)時(shí)闡述。在這里，我們只需要指出一點(diǎn)：因數(shù)分解的困難性，是現(xiàn)在世界上最常用的密碼系統(tǒng)“RSA”的基礎(chǔ)。RSA這個(gè)名字，是三位發(fā)明者李維斯特（Ron Rivest）、薩莫爾（Adi Shamir）和阿德曼（Leonard Adleman）的首字母縮寫(xiě)。

RSA是一種“公開(kāi)密鑰密碼體系”，它的密鑰（即加密時(shí)用到的參數(shù)）是對(duì)全世界所有人公開(kāi)的。為什么敢公開(kāi)？因?yàn)檫@個(gè)密鑰是一個(gè)很大的合數(shù)，解密需要把它分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)，而發(fā)布者有信心別人在正常的時(shí)間內(nèi)解不開(kāi)。

但是RSA有兩大隱患。第一點(diǎn)，我們只是知道目前公開(kāi)的最好的算法是數(shù)域篩，但不知道是否有更好的算法。更令人寢食不安的是，某些國(guó)家、某些組織也許已經(jīng)掌握解密的算法了，只是沒(méi)有告訴你！

第二點(diǎn)，上面說(shuō)的算法都是在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的，“最快的算法都無(wú)法破解RSA”指的是經(jīng)典計(jì)算機(jī)。對(duì)于量子計(jì)算機(jī)，我們卻已經(jīng)知道了它可以破解RSA。

如前所述，量子計(jì)算相對(duì)于經(jīng)典計(jì)算有潛在的巨大優(yōu)勢(shì)，只是實(shí)現(xiàn)這種優(yōu)勢(shì)需要聰明的算法設(shè)計(jì)，只有對(duì)少數(shù)問(wèn)題能夠設(shè)計(jì)出這樣的算法。而因數(shù)分解，就是這樣的問(wèn)題之一。1994年，肖爾（Peter Shor）發(fā)明了一種量子算法，把因數(shù)分解的計(jì)算量減少到了多項(xiàng)式級(jí)別，也就是從不可計(jì)算變成了可計(jì)算。

艾數(shù)學(xué)同學(xué)，你又在舉手了？嗯，肖爾算法的計(jì)算量是O(n^2 logn loglogn)，一般人我不告訴他。

這又是個(gè)什么概念呢？同樣還是分解300位和5000位的數(shù)字，量子算法會(huì)把所需時(shí)間從15萬(wàn)年減到不足1秒鐘，從50億年減到2分鐘！對(duì)RSA密碼系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這不是“隱”患，而是“明”患！

看起來(lái)，全世界的密碼人員都應(yīng)該陷入恐慌了。但事實(shí)上還沒(méi)有，人們?nèi)匀辉谟弥鳵SA。為什么呢？因數(shù)分解的量子算法只是理論，真要實(shí)現(xiàn)它還是非常困難的，造出有實(shí)用價(jià)值的量子計(jì)算機(jī)還需要很多努力。

第一次真正用量子算法分解質(zhì)因數(shù)是在2007年實(shí)現(xiàn)的，把15分解成3 × 5。有兩個(gè)研究組同時(shí)做出了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，一個(gè)是中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的潘建偉和陸朝陽(yáng)等人，一個(gè)是澳大利亞布里斯班大學(xué)的A. G. White和B. P. Lanyon等人。此后各國(guó)科學(xué)家不斷努力，把這個(gè)領(lǐng)域推向前進(jìn)。目前在實(shí)驗(yàn)上分解的最大的數(shù)是291,311 = 523 × 557，是由中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的杜江峰和彭新華等人在2017年實(shí)現(xiàn)的。

什么，你前邊跟我說(shuō)量子算法隨隨便便就能分解幾千位的數(shù)字，結(jié)果實(shí)際上最大只能分解一個(gè)六位數(shù)？你是在耍我嗎？

這位同學(xué)，請(qǐng)你先把手里的刀放下……同學(xué)們，一定要分清潛力和現(xiàn)狀?；疖?chē)剛出現(xiàn)的時(shí)候，跑得沒(méi)有馬車(chē)快，還經(jīng)常出故障。但是任何有洞察力的人都能看出，火車(chē)代表著未來(lái)，因?yàn)樗軌蜻_(dá)到的上限遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)馬車(chē)。RSA現(xiàn)在當(dāng)然還可以用，但達(dá)摩克利斯之劍已經(jīng)懸掛起來(lái)了，任何有責(zé)任心的密碼人員都會(huì)時(shí)刻關(guān)心量子計(jì)算的進(jìn)展。

還有一點(diǎn)值得注意的是，造出專(zhuān)門(mén)處理某些任務(wù)的“專(zhuān)用”的量子計(jì)算機(jī)比造出“通用”的量子計(jì)算機(jī)要容易得多。專(zhuān)用的東西比通用的容易造，這是一個(gè)普遍規(guī)律。在可編程的電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前300多年，岡特（Edmund Gunter, 1581-1626）和奧特雷德（William Oughtred, 1574-1660）就造出了計(jì)算尺。

谷歌宣布計(jì)劃在2017年造出超越傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的量子計(jì)算機(jī)，很可能指的就是這種專(zhuān)用計(jì)算機(jī)。斯諾登從美國(guó)出逃后，披露了美國(guó)國(guó)家安全局有一個(gè)絕密的項(xiàng)目“穿透硬目標(biāo)”（Penetrating Hard Targets），計(jì)劃建造一臺(tái)專(zhuān)用于破解密碼的量子計(jì)算機(jī)。據(jù)傳該局已經(jīng)存放了大量外國(guó)政府的密電，一旦項(xiàng)目成功立刻對(duì)它們動(dòng)手。這足以讓其他國(guó)家不寒而栗了！

同樣的道理，2017年5月，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉和陸朝陽(yáng)等人宣布造出世界上第一臺(tái)超越早期電子計(jì)算機(jī)的光量子計(jì)算機(jī)，也是特別針對(duì)一個(gè)問(wèn)題的，這個(gè)問(wèn)題叫做“玻色子取樣”。對(duì)它的量子算法，也是把指數(shù)增長(zhǎng)的計(jì)算量縮減到了多項(xiàng)式增長(zhǎng)的計(jì)算量。成果就是，這臺(tái)量子計(jì)算機(jī)算起玻色子取樣來(lái)，比第一臺(tái)電子管計(jì)算機(jī)ENIAC和第一臺(tái)晶體管TRADIC快了10到100倍。

順便提一下，有些人迷惑光量子計(jì)算機(jī)跟量子計(jì)算機(jī)是什么關(guān)系，甚至還有人說(shuō)光量子計(jì)算機(jī)不是量子計(jì)算機(jī)。實(shí)際上，量子計(jì)算機(jī)總需要用某種物理體系來(lái)實(shí)現(xiàn)，好比電子計(jì)算機(jī)可以用電子管實(shí)現(xiàn)，也可以用晶體管實(shí)現(xiàn)，甚至可以像《三體》中設(shè)想的那樣用幾千萬(wàn)人來(lái)實(shí)現(xiàn)（秦始皇：有人叫我？）。光量子計(jì)算機(jī)就是用光子作為量子比特的量子計(jì)算機(jī)。除了光子之外，量子計(jì)算機(jī)常用的物理體系還包括光學(xué)共振腔、離子阱、核磁共振等等。沒(méi)關(guān)系，你不需要現(xiàn)在就看懂這些物理學(xué)術(shù)語(yǔ)……

以后如果你看到量子計(jì)算機(jī)的新聞，千萬(wàn)不要問(wèn)“計(jì)算能力跟我的電腦比起來(lái)怎么樣”或者“打游戲會(huì)卡嗎”，人家一聽(tīng)就知道你很外行。如果你問(wèn)“它針對(duì)的是哪個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把計(jì)算量從什么改進(jìn)到了什么”，人家就知道你是懂行的了。——一般人我不告訴他！

（未完待續(xù)）

背景簡(jiǎn)介：本文作者為袁嵐峰，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)化學(xué)博士，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室副研究員，科技與戰(zhàn)略風(fēng)云學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。